概要

2020年東工大入試前期日程における，数学試験の第五問(3),(4)の解答例です． 試験全体の概略は速報ページに載せてあります．

問題文は以下の通りです．

問題

難易度：(3),(4)B30

(3) 　$k^n$でくくると(2)の誘導の意味が分かります． $k^m$でくくってもいいです． その場合は結局のところ$k^{m - 1}$でまとめることになります．

(4) 　(3)と同様の問題です． 解き方によっては(3)より簡単です．

解答例

※スマホ等で文字化けする場合はpdf版をダウンロードして見てください．

($1$)(略解)

$a_{k + 2}$を部分積分すると， \begin{align*} a_{k + 2} &= -\frac{2}{\pi}\left[x^{k + 1}\cos \left( \frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1 + \frac{2(k + 1)}{\pi} \int_0^1 x^k \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \mathrm{d}x \\ &= \frac{4(k + 1)}{\pi^2} - \frac{4k(k + 1)}{\pi^2}a_k. \tag{1} \end{align*}

($2$)(略解)

($1$)式より， \begin{align*} ka_k = 1 - \frac{\pi^2}{4(k + 1)}a_{k + 2} \end{align*} である． \begin{align*} |a_{k + 2}| &\leqq \int_0^1 \mathrm{d}x \\ &=1 \end{align*} であるので， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}ka_k &= \lim_{k \to \infty}\left(1 - \frac{\pi^2}{4(k + 1)}a_{k + 2}\right) \\ &= 1. \tag{2} \end{align*}

($3$)

$n \geqq 1$であるので， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}k^n = \infty. \end{align*} よって，$k^ma_k - k^nA = k^n(k^{m - n}a_k -1)$が有限の値に収束するためには， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}(k^{m - n}a_k -1) = 0 \end{align*} が必要．($2$)より，これが成り立つのは$m - n = 1$のときのみである．

i) $n = 1$のとき

($1$)式より， \begin{align*} k(ka_k - 1) = 1 - ka_k - \frac{\pi^2}{4}a_{k + 2} \end{align*} であるから，($2$)式と，($2$)式より， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}a_k = 0 \tag{3-1} \end{align*} であることに注意すると， \begin{align*} \lim_{k \to \infty} k(ka_k -1) = 0. \tag{3-2} \end{align*}

ii) $n = 2$のとき

($1$)式より， \begin{align*} k^2(ka_k -1) &= k - k^2a_k - \frac{\pi^2}{4}ka_{k + 2} \\ &= -k(ka_k - 1) - \frac{\pi^2}{4}(k + 2)a_{k + 2} + \frac{\pi^2}{2}a_{k + 2} \end{align*} であるから，($2$),($3-1$),($3-2$)式より， \begin{align*} \lim_{k \to \infty} k^2(ka_k -1) = - \frac{\pi^2}{4}. \tag{3-3} \end{align*}

iii) $n \geqq 3$のとき

このとき， \begin{align*} k^n(ka_k - 1) = k^{n - 2}k^2(ka_k - 1) \end{align*} なので，($3-3$)式より， \begin{align*} \lim_{k \to \infty} k^n(ka_k -1) = - \infty. \end{align*}

よって，$0$でない値に収束するのは$m = 3, \quad n = 2$のときで，$B = -\frac{\pi^2}{4}$．

($4$)

$r \geqq 1$であるので，($3$)と同様，$k^pa_k - k^qA - k^rB = k^r(k^{p - r}a_k -k^{q - r} + \frac{\pi^2}{4})$が有限の値に収束するためには， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}(k^{p - r}a_k -k^{q - r} + \frac{\pi^2}{4}) = 0 \end{align*} が必要．($3$)より，これが成り立つのは$p - r = 3, \quad q - r = 2$のときのみである．

i) $r = 1$のとき

($1$)式より， \begin{align*} k(k^3a_k - k^2 + \frac{\pi^2}{4}) &= k^2 - k^3a_k - \frac{\pi^2}{4}k^2a_{k + 2} + \frac{\pi^2}{4}k \\ &= -k^2(ka_k - 1) - \frac{\pi^2}{4}(k + 2)\left( (k + 2)a_{k + 2} - 1\right) \\ &\quad + \pi^2(k + 2)a_{k + 2} - \pi^2a_{k + 2} - \frac{\pi^2}{2} \end{align*} である． よって，($2$),($3-1$),($3-2$),($3-3$)式より， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}k(k^3a_k - k^2 + \frac{\pi^2}{4}) &= \frac{\pi^2}{4}k + \pi^2 - \frac{\pi^2}{2}　\\ &= \frac{3\pi^2}{4}. \tag{4} \end{align*}

ii) $r \geqq 2$のとき

このとき， \begin{align*} k^r(k^3a_k - k^2 + \frac{\pi^2}{4}) = k^{r - 1}k(k^3a_k - k^2 + \frac{\pi^2}{4}) \end{align*} なので，($4$)式より， \begin{align*} \lim_{k \to \infty} k^r(k^3a_k - k^2 + \frac{\pi^2}{4}) = \infty. \end{align*}

よって，$0$でない値に収束するのは$p = 4, \quad q = 3, \quad r = 1$のときで，極限値は$\frac{3\pi^2}{4}$．

（解答終）

コメント

(3)と(4)はほとんど同じ問題です． (3)までの結果を整理して，論理の流れを見てみれば，解き方も思い浮かぶと思います．

なお，解答例は，この問題を$a_k$を$\displaystyle a_k = \sum_{i = 0}^\infty \frac{b_i}{k^i}$と表そうとするとき，$b_i$の値はどうなるか，という問題だととらえて$i = 1,2,3,\dots$と順に求めるという発想で解いています．

各大問の解説記事

• 2020年東工大第一問(pdf版)
• 2020年東工大第二問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第三問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第四問(pdf版)
• 2020年東工大第五問(pdf版)
  • (1),(2)
  • (3),(4)
• 2020年東工大講評

このブログの全記事の一覧を用意しました．年度別に整理してあります．

過去問解説記事一覧【年度別】

概要

2020年東工大入試前期日程における，数学試験の第五問(1),(2)の解答例です． 試験全体の概略は速報ページに載せてあります．

問題文は以下の通りです．

問題

難易度：(1),(2)AA10

(1) 　部分積分で漸化式を作ります． 教科書にも類題があるはず．

(2) 　(1)の漸化式を使って評価します． 上手くはさみうちの原理を使いましょう． $ka_k$の極値を求めさせているので$a_k$の極値は$0$に決まっています．

解答例

※スマホ等で文字化けする場合はpdf版をダウンロードして見てください．

($1$)

$a_{k + 2}$を部分積分すると， \begin{align*} a_{k + 2} &= \int_0^1 x^{k + 1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)\mathrm{d}x \\ &= -\frac{2}{\pi}\left[x^{k + 1}\cos \left( \frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1 + \frac{2(k + 1)}{\pi} \int_0^1 x^k \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right) \mathrm{d}x \\ &= \frac{4(k + 1)}{\pi^2}\left[x^k\sin \left( \frac{\pi x}{2}\right)\right]_0^1 - \frac{4k(k + 1)}{\pi^2} \int_0^1 x^{k - 1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right) \mathrm{d}x \\ &= \frac{4(k + 1)}{\pi^2} - \frac{4k(k + 1)}{\pi^2}a_k. \tag{1} \end{align*}

($2$)

($1$)式より， \begin{align*} ka_k = 1 - \frac{\pi^2}{4(k + 1)}a_{k + 2} \end{align*} である． \begin{align*} |a_{k + 2}| &= \left|\int_0^1 x^{k + 1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)\mathrm{d}x\right| \\ &= \int_0^1 x^{k + 1} \sin \left(\frac{\pi x}{2}\right)\mathrm{d}x \\ &\leqq \int_0^1 \mathrm{d}x \\ &=1 \end{align*} であるので， \begin{align*} \lim_{k \to \infty}ka_k &= \lim_{k \to \infty}\left(1 - \frac{\pi^2}{4(k + 1)}a_{k + 2}\right) \\ &= 1. \tag{2} \end{align*}

(解答終)

コメント

(1)の誘導があるので(2)は(1)の漸化式をいじって解けるだろうと察しがつくはずです．

(1),(2)は(3)以降の誘導でしかなく，教科書レベルの典型問題です．

(2)は誘導無しなら二次試験レベルだと思いますが，(1)があるので特に苦労することは無いでしょう．

強いて言うならはさみうちの定理を思いつくかがポイントですが，$ka_k$を求める際に$a_k$や$\frac{a_k}{k}$の極限が$0$になるのはあまりに当たり前のことなので，自然とそれを示そうと考えると思います．

思わなかった人は，そう考えるようになってください． オーダーに関する基本的な感覚です．

各大問の解説記事

• 2020年東工大第一問(pdf版)
• 2020年東工大第二問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第三問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第四問(pdf版)
• 2020年東工大第五問(pdf版)
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  • (3),(4)
• 2020年東工大講評

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過去問解説記事一覧【年度別】

概要

2020年東工大入試前期日程における，数学試験の第四問の解答例です． 本記事では誘導にだけ乗って座標変換はせずに解答します． 座標変換する例や，方針の立て方は後日投稿する別記事に掲載します．

試験全体の概略は速報ページに載せてあります．

問題文は以下の通りです．

問題

難易度：A20

($1$) 　斜軸回転体の体積を求めるための誘導です． 特にはまることもないでしょう．

($2$) 　($1$)の誘導に乗って積分するだけです．

($2$)は基本的には座標変換して解く問題ですが，($1$)を解くと断面積が出ます．

($1$)を座標変換せずに解いたなら($2$)も座標変換せずに解いても問題ありません．

解答例

※スマホ等で文字化けする場合はpdf版をダウンロードして見てください．

($1$)

$P$から$l$に下ろした垂線の足を$R$とおく． $R$の座標は$(\frac{x - \sin x}{2},-\frac{x - \sin x}{2})$であり，$Q$の座標は$(x - \sin x,0)$である．

$n$は正の奇数なので，$x \geqq \sin x \geqq 0$であることに注意すると，$PQ$を$l$の周りに回転させてできる図形の面積$S$は， \begin{align*} S &= \pi(PR^2 -QR^2) \\ &= \pi\left\{2\left(\frac{x + \sin x}{2}\right)^2 - 2\left(\frac{x - \sin x}{2}\right)^2\right\} \\ &= 2\pi x\sin x. \end{align*}

($2$)

$R$の原点からの距離を$t$とおくと， \begin{align*} t = \frac{x - \sin x}{\sqrt{2}} \end{align*} であるので，$t$は$x$の単調増加関数で \begin{align*} \mathrm{d}t = \frac{1 - \cos x}{\sqrt{2}}\mathrm{d}x \end{align*} である． 点$R$は$(\frac{(n - 1)\pi}{2},-\frac{(n - 1)\pi}{2})$から$(\frac{n\pi}{2},-\frac{n\pi}{2})$までを動く． $V_n$は$D_n$を$l$の周りに$1$回転させたものだから，$V_n$の体積を$l$に沿って$l$に垂直な断面の面積を積分することで求めると， \begin{align*} V_n &= \int_\frac{(n - 1)\pi}{\sqrt{2}}^\frac{n\pi}{\sqrt{2}} 2\pi x\sin x \mathrm{d}t \\ &= \sqrt{2}\pi\int_{(n - 1)\pi}^{n\pi} x\sin x(1 - \cos x)\mathrm{d}x \\ &= \sqrt{2}\pi\left[x(-\cos x + \frac{1}{4}\cos 2x)\right]_ {(n - 1)\pi}^{n\pi} + \sqrt{2}\pi\int_{(n - 1)\pi}^{n\pi} (\cos x -\frac{1}{4}\cos 2x) \mathrm{d}x \\ &= \sqrt{2}\pi\left(n\pi + \frac{1}{4}n\pi + (n - 1)\pi - \frac{1}{4}(n - 1)\pi\right) + \sqrt{2}\pi \left[\sin x - \frac{1}{8}\sin 2x\right]_{(n - 1)\pi}^{n\pi} \\ &= \sqrt{2}\pi^2\left(2n - \frac{3}{4}\right). \end{align*}

（解答終）

コメント

典型問題です． 傘型求積とか斜回転体の公式とか解法は色々ありますが，基本は座標変換です．

この問題自体は座標変換せずに解けますが，過去問演習で座標変換しなかった人も最低限座標変換の解法は復習しておくといいでしょう．

各大問の解説記事

• 2020年東工大第一問(pdf版)
• 2020年東工大第二問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第三問(pdf版)
  • (1)
  • (2)
• 2020年東工大第四問(pdf版)
• 2020年東工大第五問(pdf版)
  • (1),(2)
  • (3),(4)
• 2020年東工大講評

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