概要
2020年東工大入試前期日程における,数学試験の第二問($2$)の解答例です. 本記事では複素数に注目した解答例を紹介します. それ以外の解法による解答例や,方針の立て方は後日投稿する別記事に掲載します.
試験全体の概略は速報ページに載せてあります.
問題文は以下の通りです.
問題
難易度:(1)B15,(2)B15
(1) 結構有名な問題です. 複素数の強みは長さと角度を同時に扱えるところなので,角に着目した解答を目指すと比較的容易に解答できます.
(2) ベクトルや座標の利用の方が先に思い付いてしまいますが,(1)の誘導がついているので複素数で解いてもいいです. 今回はあえて誘導に乗って複素数で解いてみます.
複素数で解くならはじめに原点を重心に移動させると良いでしょう.
解答例
※スマホ等で文字化けする場合はpdf版をダウンロードして見てください.
(1)までで示したこと
\begin{align*} \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha \tag{6} \end{align*} ($6$)は$\triangle ABC$が正三角形であるための必要十分条件.
($2$)
$A,B,C,P$を平行移動しても形状や長さは変わらないので,$\triangle ABC$の重心が原点であるような場合のみを考えればよい. つまり, \begin{align*} \alpha + \beta + \gamma = 0 \tag{7} \end{align*} のときを考える. また,点$P$を表す複素数を$p$とおく. このとき,$\triangle ABC$の外接円は原点を中心とした円になるので, \begin{align*} |\alpha| = |\beta| = |\gamma| = |p| = R \tag{8} \end{align*} である. また,($7$)を二乗した式 \begin{align*} (\alpha + \beta + \gamma)^2 = 0 \end{align*} に($6$)を代入することにより, \begin{align*} \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 0 \tag{9} \end{align*} が成り立つと分かる.
i) $AP^2 + BP^2 + CP^2$
$AP^2 + BP^2 + CP^2$を$\alpha,\beta,\gamma,p$を使って表すと, \begin{align*} AP^2 + BP^2 + CP^2 = (\alpha - p)(\overline{\alpha} - \overline{p}) + (\beta - p)(\overline{\beta} - \overline{p}) + (\gamma - p)(\overline{\gamma} - \overline{p}) \end{align*} となるので,($8$)より, \begin{align*} AP^2 + BP^2 + CP^2 = 6R^2 - (\alpha + \beta + \gamma)\overline{p} - (\overline{\alpha} + \overline{\beta} + \overline{\gamma})p \end{align*} である.よって,($7$)より, \begin{align*} AP^2 + BP^2 + CP^2 = 6R^2. \end{align*}
ii) $AP^4 + BP^4 + CP^4$
$AP^4 + BP^4 + CP^4$を$\alpha,\beta,\gamma,p$を使って表すと, \begin{align*} AP^4 + BP^4 + CP^4 = (\alpha - p)^2(\overline{\alpha} - \overline{p})^2 + (\beta - p)^2(\overline{\beta} - \overline{p})^2 + (\gamma - p)^2(\overline{\gamma} - \overline{p})^2 \end{align*} となるので,($8$)より, \begin{align*} AP^4 + BP^4 + CP^4 &= (2R^2 - \overline{\alpha}p - \alpha\overline{p})^2 + (2R^2 - \overline{\beta}p - \beta\overline{p})^2 + (2R^2 - \overline{\gamma}p - \gamma\overline{p})^2 \\ &= (6R^4 + \overline{\alpha}^2p^2 + \alpha^2\overline{p}^2 - 4R^2\overline{\alpha}p - 4R^2\alpha\overline{p}) \\ & \quad + (6R^4 + \overline{\beta}^2p^2 + \beta^2\overline{p}^2 - 4R^2\overline{\beta}p - 4R^2\beta\overline{p}) \\ & \quad + (6R^4 + \overline{\gamma}^2p^2 + \gamma^2\overline{p}^2 - 4R^2\overline{\gamma}p - 4R^2\gamma\overline{p}) \\ &= 18R^4 + (\overline{\alpha}^2 + \overline{\beta}^2 + \overline{\gamma}^2)p^2 + (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2)\overline{p}^2 \\ & \quad - 4R^2(\overline{\alpha} + \overline{\beta} + \overline{\gamma})p - 4R^2(\alpha + \beta + \gamma)\overline{p} \end{align*} である. よって,($7$),($9$)より, \begin{align*} AP^4 + BP^4 + CP^4 = 18R^4. \end{align*}
(解答終)
コメント
(1),(2)とも第一問と同様に典型問題です. (1)は意外とはまりやすい問題. (2)も複素数でやるなら,複素数に慣れてない人だとはまるかもしれません.
(2)は基本的にはベクトルで解くのが普通でしょうし,少なくとも(1)が無ければその方が速いです. (1)があってもベクトルで解いた方が速いかもしれません.
落としたくない問題ですがはまると時間がかかるので,上手くいかなかったときは解くのを後回しにする勇気も大切かもしれません.
(1)が解けていない場合も(2)だけは解いておきたいです.
各大問の解説記事
- 2020年東工大第一問(pdf版)
- 2020年東工大第二問(pdf版)
- 2020年東工大第三問(pdf版)
- 2020年東工大第四問(pdf版)
- 2020年東工大第五問(pdf版)
- 2020年東工大講評
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