前回に引き続き2018年京大理系数学の問題解説です.月曜の入試までに解説を終わらせたいですね.ですので,今回はすぐに解説に入っていきます.
今回扱う問題は下の問題です.今回から大問番号のとなりに難易度表記をすることにします.前回は大問別の難易度一覧があったので省略しました.
[2](A15) (30点)
$n^3 - 7n + 9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ.
典型的な整数問題です.一行しかない問題文は京大ではよく見かけるスタイルです.整数分野は独自の解法が多数存在するため,まずそれを抑える必要があります.一応指導要領に整数分野が入ったとはいえ,授業内で十分解法が網羅できるとはいえません.
ですので,まず自分で解法を体系的に習得する必要があります.現状受験生が苦手とする代表的な分野の一つなので,それさえできれば割とどうとでもなります.この問題はそのどうとでもなる問題の一つです.
京大では整数問題が良く出題されますが,この問題はその中でも最も簡単な部類に入ります.京大受験生のほとんどが正解したでしょう.2017年の整数問題は比較的難しかったのでその反動かもしれません.正解するのは当たり前,いかに正確に短時間で完答できるかと言う問題ですね.15分としていますが,10分でも長いかもしれません.
さて,解答の方針ですが,この手の問題はまず実験するに限ります(問題文を読み終わった時に答案が思いついているなら話は別ですが).もちろん解答には書きませんが,一番重要な段階です.
ここで,与式に$n = 0,1,2,3$を代入してみると,全て3の倍数になります.この時点でもうこの問題は解けたも同然.全ての$n$で3の倍数になることを示せば解決です.
[解答例]
3を法とする合同式を考える.整数$n$は$n \equiv 0,1,2$のいずれかをみたす.
(i)$n\equiv 0$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 0 - 0 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
(i)$n\equiv 1$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 1 - 1 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
(i)$n\equiv 2$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 8 - 2 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
以上より,任意の整数$n$で$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.よって,$n^3 - 7n + 9$が素数となるような整数$n$の条件は,
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 = 3 \\
\therefore (n - 1)(n - 2)(n + 3) = 0
\end{align*}
をみたすときである.よって,求める$n$は1,2,-3である.
(解答終)
解答は以上のようになります.合同式を使うと簡潔になりすぎるので計算過程を一応書いています.いちいち場合分けを書かずに,$n\equiv 0,1,2$について計算すると0と合同になると記述しても多分大丈夫だと思います.特につまづくポイントはありません.
$p$の倍数の素数は$p$だけ,というのがこの問題の唯一のポイントです.正直この手の問題は何度も出題されていて二番煎じどころではない気がします.今年の早稲田理工でも類題が出題されています.こっちは誘導つきで.
$n$が整数であることに注意してください.負の場合も含みます.自然数と勘違いして減点されないように注意.とはいえ,正しく記述していたらそれなりに部分点がもらえるのかもしれません.
今回扱う問題は下の問題です.今回から大問番号のとなりに難易度表記をすることにします.前回は大問別の難易度一覧があったので省略しました.
[2](A15) (30点)
$n^3 - 7n + 9$が素数となるような整数$n$をすべて求めよ.
典型的な整数問題です.一行しかない問題文は京大ではよく見かけるスタイルです.整数分野は独自の解法が多数存在するため,まずそれを抑える必要があります.一応指導要領に整数分野が入ったとはいえ,授業内で十分解法が網羅できるとはいえません.
ですので,まず自分で解法を体系的に習得する必要があります.現状受験生が苦手とする代表的な分野の一つなので,それさえできれば割とどうとでもなります.この問題はそのどうとでもなる問題の一つです.
京大では整数問題が良く出題されますが,この問題はその中でも最も簡単な部類に入ります.京大受験生のほとんどが正解したでしょう.2017年の整数問題は比較的難しかったのでその反動かもしれません.正解するのは当たり前,いかに正確に短時間で完答できるかと言う問題ですね.15分としていますが,10分でも長いかもしれません.
さて,解答の方針ですが,この手の問題はまず実験するに限ります(問題文を読み終わった時に答案が思いついているなら話は別ですが).もちろん解答には書きませんが,一番重要な段階です.
ここで,与式に$n = 0,1,2,3$を代入してみると,全て3の倍数になります.この時点でもうこの問題は解けたも同然.全ての$n$で3の倍数になることを示せば解決です.
[解答例]
3を法とする合同式を考える.整数$n$は$n \equiv 0,1,2$のいずれかをみたす.
(i)$n\equiv 0$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 0 - 0 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
(i)$n\equiv 1$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 1 - 1 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
(i)$n\equiv 2$のとき
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 &\equiv n^3 - n \\
&\equiv 8 - 2 \\
&\equiv 0
\end{align*}
であるので$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.
以上より,任意の整数$n$で$n^3 - 7n + 9$は3の倍数.よって,$n^3 - 7n + 9$が素数となるような整数$n$の条件は,
\begin{align*}
n^3 - 7n + 9 = 3 \\
\therefore (n - 1)(n - 2)(n + 3) = 0
\end{align*}
をみたすときである.よって,求める$n$は1,2,-3である.
(解答終)
解答は以上のようになります.合同式を使うと簡潔になりすぎるので計算過程を一応書いています.いちいち場合分けを書かずに,$n\equiv 0,1,2$について計算すると0と合同になると記述しても多分大丈夫だと思います.特につまづくポイントはありません.
$p$の倍数の素数は$p$だけ,というのがこの問題の唯一のポイントです.正直この手の問題は何度も出題されていて二番煎じどころではない気がします.今年の早稲田理工でも類題が出題されています.こっちは誘導つきで.
$n$が整数であることに注意してください.負の場合も含みます.自然数と勘違いして減点されないように注意.とはいえ,正しく記述していたらそれなりに部分点がもらえるのかもしれません.
発想,計算量$\approx 0$な問題です.2018年では一番簡単な問題ですね.次回は同じく2018年京大理系の第三問です.おつかれさまでした.